Chapter 1 : संख्या प्रणाली
गणित कक्षा 9 के अध्याय 1 संख्या प्रणाली में संख्याओं की तुलना, अंकन पद्दति, तथा संख्याओं का आकलन शामिल है। ये सभी प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अति महत्वपूर्ण हैं।
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- कोई ऋणात्मक मार्किंग नहीं है।
महत्वपूर्ण परिभाषाएँ और नियम
परिमेय संख्या:
एक संख्या परिमेय संख्या कहलाती है, यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q\neq 0$ है।
अपरिमेय संख्या:
एक संख्या जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में न लिखा जा सके (जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं तथा $q\neq 0$ है) अपरिमेय संख्या कहलाती है।
वास्तविक संख्याएँ :
सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं को मिलाकर वास्तविक संख्याओं का संग्रह कहा जाता है।
वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रसार:
एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती होता है तथा एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है।
नोट: यदि $r$ एक परिमेय संख्या है और $s$ एक अपरिमेय संख्या है तो-
1. $r+s$ और $r-s$ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
2. साथ ही, यदि $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या हो तो $rs$ और $\frac{r}{s}$ अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए :
(i) $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$
(ii) $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
(iii) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$
(iv) $(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b$
(v) $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b$
यदि $p$ और $q$ परिमेय संख्याएँ तथा $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो-
(i) $a^pa^q=a^{p+q}$
(ii) ${\left(a^p\right)}^q=a^{pq}$
(iii) $\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}$
(iv) $a^pb^p=(ab)^p$
निष्कर्ष
कक्षा 9 गणित का अध्याय 1: संख्या प्रणाली विद्यार्थियों के लिए गणित की नींव को मजबूत करता है। इसमें सभी बेसिक कॉन्सेप्ट्स और महत्वपूर्ण प्रश्न शामिल हैं जो परीक्षा के लिए उपयोगी हैं।